Dozent: Müller-Hoissen

Vorlesung: Integrable Modelle und Solitonen

Zeit: WS2002/2003, Fr 11 - 13

Ort: Hörsaal MPI für Strömungsforschung (MN 76)

Zielgruppe: Studenten Mathematik/Physik ab 4. Semester

In dieser Vorlesung geht es hauptsächlich um mathematische Techniken, die insbesondere Anwendung finden auf Solitonen-Gleichungen. Das sind nichtlineare Wellengleichungen, die im Raum lokalisierte Lösungen (sogenannte Solitonen) besitzen, welche einer Art nichtlinearem Superpositionsprinzip genügen und das Zusammentreffen mit Ihresgleichen nahezu unverändert überstehen. Besonders in Zusammenhang mit Wasserwellen ist die Korteweg-deVries-Gleichung berühmt. In Verbindung mit dem Problem verlustarmer Datenübertragung in Glasfasern über grosse Entfernungen tritt etwa die nichtlineare Schrödinger-Gleichung auf. Weitere Beispiele von Solitonen-Gleichungen findet man in vielen Bereichen der Physik. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind etwa stationäre axialsymmetrische schwarze Löcher Lösungen einer verwandten Gleichung.

Manche Solitonen-Gleichungen lassen sich als unendlich-dimensionale Analoga von integrablen Systemen der Hamiltonschen Mechanik verstehen. Insbesondere findet man, dass solche Gleichungen unendlich viele Erhaltungssätze haben.

Es gibt schöne Techniken und Strukturen in Zusammenhang mit solchen integrablen Modellen: Lax-Formalismus und inverse Streutheorie, Bedingung verschwindender Krümmung, Bikomplexe, Bäcklund-Transformationen, Bi-Hamiltonsche Systeme, Hirotas bilinearer Formalismus und Tau-Funktion, r-Matrix und Yang-Baxter-Gleichung. Die Vorlesung wird an Hand von Beispielen in diese Strukturen einführen.

Vorausgesetzt werden nur Mathematikkenntnisse im Rahmen der linearen Algebra und elementaren Analysis.

Literatur:
1) M. Remoissenet, Waves Called Solitons, Springer, 1999.
2) P.G. Drazin und R.S. Johnson, Solitons: an Introduction, Cambridge University Press, 1989.
3) T. Miwa, M. Jimbo und E. Date, Solitons: Differential Equations, Symmetries and infinite dimensional algebras, Cambridge University Press 2000.
4) R.S. Palais, The symmetries of solitons, Bull. Amer. Math. Soc. 34 (1997) 339-403 [dg-ga/9708004].

Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

Inhalt der Vorlesung:

  1. Einführung
  2. Endlich-dimensionale vollständig integrable Systeme
    1. Lax-Gleichung
    2. Etwas Differentialgeometrie
    3. Symplektische Geometrie
    4. Vollständig integrable Hamiltonsche Systeme
    5. Bi-Hamiltonsche Systeme, Lax-Matrizen und Integrabilität
  3. Die Korteweg-deVries-Gleichung
    1. KdV als vollständig integrables Hamiltonsches System
    2. KdV-Solitonen
    3. Lax-Gleichung für KdV
  4. Inverse Streu-Methode (ISM)
    1. Mathematischer Einschub: Hilbertraum, Operatoren
    2. Lax-Gleichung und Isospektralprinzip
    3. Gelfand-Levitan-Marchenko-Integralgleichung und ISM für Schrödingeroperatoren
    4. Anwendung auf die KdV-Gleichung
      1. KdV-Streudaten-Zeitentwicklung
      2. ISM-Rezept zur Lösung der KdV-Gleichung
      3. Berechnung der Streudaten für das Beispielpotential V(x)=-V0 sech2x.
      4. Lösung der KdV-Gleichung für V0=6.
      5. Separabilität und N-Solitonen-Lösung (glm.ps)
  5. Übersicht: weitere Beispiele von Solitonen- und verwandten Gleichungen, sowie Lösungsmethoden