Dozent: Müller-Hoissen
Vorlesung: Integrable Modelle und Solitonen
Zeit: WS2002/2003, Fr 11 - 13
Ort: Hörsaal MPI für Strömungsforschung (MN 76)
Zielgruppe: Studenten Mathematik/Physik ab 4. Semester
In dieser Vorlesung geht es hauptsächlich um mathematische Techniken,
die insbesondere Anwendung finden auf Solitonen-Gleichungen.
Das sind nichtlineare Wellengleichungen, die im Raum lokalisierte
Lösungen (sogenannte Solitonen) besitzen, welche einer Art nichtlinearem
Superpositionsprinzip genügen und das Zusammentreffen mit Ihresgleichen
nahezu unverändert überstehen. Besonders in Zusammenhang mit Wasserwellen
ist die Korteweg-deVries-Gleichung berühmt. In Verbindung mit dem Problem
verlustarmer Datenübertragung in Glasfasern über grosse
Entfernungen tritt etwa die nichtlineare Schrödinger-Gleichung auf. Weitere
Beispiele von Solitonen-Gleichungen findet man in vielen Bereichen der
Physik. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind etwa
stationäre axialsymmetrische schwarze Löcher Lösungen
einer verwandten Gleichung.
Manche Solitonen-Gleichungen lassen sich als unendlich-dimensionale Analoga
von integrablen Systemen der Hamiltonschen Mechanik verstehen. Insbesondere
findet man, dass solche Gleichungen unendlich viele Erhaltungssätze haben.
Es gibt schöne Techniken und Strukturen in Zusammenhang mit solchen
integrablen Modellen: Lax-Formalismus und inverse Streutheorie,
Bedingung verschwindender Krümmung, Bikomplexe,
Bäcklund-Transformationen, Bi-Hamiltonsche Systeme,
Hirotas bilinearer Formalismus und Tau-Funktion, r-Matrix und
Yang-Baxter-Gleichung. Die Vorlesung wird
an Hand von Beispielen in diese Strukturen einführen.
Vorausgesetzt werden nur Mathematikkenntnisse im Rahmen der linearen Algebra
und elementaren Analysis.
Literatur:
1) M. Remoissenet, Waves Called Solitons, Springer, 1999.
2) P.G. Drazin und R.S. Johnson, Solitons: an Introduction,
Cambridge University Press, 1989.
3) T. Miwa, M. Jimbo und E. Date, Solitons: Differential Equations,
Symmetries and infinite dimensional algebras,
Cambridge University Press 2000.
4) R.S. Palais, The symmetries of solitons,
Bull. Amer. Math. Soc. 34 (1997) 339-403 [dg-ga/9708004].
Weitere Literatur wird in der
Vorlesung bekannt gegeben.
Inhalt der Vorlesung: