Dozent: Müller-Hoissen
Vorlesung: Nichtlineare Feldgleichungen: Solitonen und verwandte Strukturen (Nonlinear field equations: solitons and the like)
Zeit: WS2008/2009, Di 8-10, Fr 8-10
Ort: HS 3 (Di: James Franck Hörsaal, A0.105, Fr: Seminarraum 3, Theor. Physik)
Zielgruppe: Studenten Physik/Mathematik, ab 5. Semester

Zusammenfassung:

Differentialgleichungen zur Beschreibung dynamischer (insbesondere physikalischer) Prozesse sind typisch nicht-linear. Infolgedessen zeigen ihre Lösungen oftmals ein recht komplexes Verhalten. Eine spezielle Klasse nichtlinearer Differentialgleichungen sind die sogenannten "vollständig integrablen", deren Lösungen in exakter (und nicht nur approximativer oder numerischer) Weise zugänglich sind. Einige solcher (partieller) Differentialgleichungen besitzen Lösungen, die man als Solitonen bezeichnet. Im Falle etwa der Korteweg-deVries (KdV) Gleichung (eine Approximation insbesondere von Wasserwellen) ist ein Soliton ein lokalisierter Wellenberg. Derartige Wellenberge können durcheinander durch fließen und anschließend wieder ihre ursprüngliche Form annehmen. In der Tat besitzt die KdV-Gleichung exakte Lösungen, die solche Prozesse für beliebig viele solitäre Wellen beschreiben. Weitere berühmte Beispiele aus der Physik sind die nichtlineare Schrödingergleichung (mit Anwendungen in der optischen Signalübertragung in Glasfasern) und die Sinus-Gordon-Gleichung (eine nichtlineare Version der linearen Klein-Gordon-Gleichung in einer 2-dimensionalen Raum-Zeit mit Ursprung in der Differentialgeometrie und zahlreichen physikalischen Anwendungen). Bei manchen Gleichungen ist eine Analogie nur auf einer mehr mathematischen Ebene zu sehen. So findet man etwa dass in der Allgemeinen Relativitätstheorie schwarze Löcher in gewissem Sinne Solitonen entsprechen.
Die nähere Beschäftigung mit derartigen Phänomenen macht Kontakt mit zahlreichen in der Physik wichtigen mathematischen Strukturen. Eine Methode zur Lösung "integrabler Gleichungen" ist die Inverse Streutheorie, welche Methoden der Quantenmechanik nutzt. Andere Zugänge involvieren verallgemeinerte Symmetrien und wichtige algebraische oder geometrische Strukturen.
In der Vorlesung soll versucht werden, bedeutende Zusammenhänge heraus zu arbeiten und an physikalisch motivierten Beispielen zu erläutern.

Vorausgesetzt werden Differentialrechnung, lineare Algebra, ein wenig komplexe Analysis, desweiteren Grundkenntnisse (variierend mit den in der Vorlesung behandelten Themen) aus der klassischen Mechanik, Elektrodynamik, speziellen Relativitätstheorie und Quantenmechanik. Die Ausrichtung der Vorlesung geht leicht in Richtung "mathematische Physik".

Prüfung:
Die Teilnahme an der Vorlesung bringt 6 Credit Points.
Klausurtermin: Dienstag, 16. Februar 2010, 10-13 Uhr
Nachklausur: Dienstag, 30. März 2010, 10-13 Uhr
Ort: HS 5 (Gauß-Weber Hörsaal, E0.109)
Bitte rechtzeitige Anmeldung bei FlexNow nicht vergessen!
Wer außerhalb von FlexNow an der Klausur teilnimmt und eine Bescheinigung braucht, vermerke dies bitte auf auf den Klausurunterlagen.



Now we switch to English.

Literature:
This course is not based on some book, although it covers material that can be found in various books. Some physically (in contrast to mathematically) dominated books are

Further references will be given later here or during the course.


So far treated:
  1. Introduction and short overview
    Mathematica notebook: Solitary wave of the KdV equation
  2. Some elementary differential geometry (tensor calculus)
  3. Finite-dimensional dynamical systems
    1. Hamiltonian systems and integrability
    2. Lax equation and constants of motion
      Mathematica notebook: Lax equation for the Toda lattice
    3. Lax equation and r-matrix
    4. Bihamiltonian systems, Lax matrices, and Liouville-integrability
    5. Singularity analysis and Painleve property
  4. The KdV equation
    1. From a nonlinear dispersion relation to KdV
    2. Fluid waves and the KdV equation
    3. Traveling waves (solitary wave)
    4. Fluid surface motion again (effect of surface tension)
    5. Further traveling wave solutions (cnoidal waves)
    6. Lax formulation of the KdV equation
    7. Hamiltonian structure of the KdV equation and Liouville integrability
  5. Inverse scattering
    1. Scattering theory for the Schrödinger equation
    2. Gelfand-Levitan-Marchenko integral equation
    3. How to solve certain PDEs via the inverse scattering method
    4. Time evolution of KdV scattering data
    5. Reflectionless potentials and N-soliton solution of KdV
      Mathematica notebook: 2-soliton solution of the KdV equation
    6. tau function and Hirota formalism
  6. Other integrable PDEs and further methods to solve them
    1. Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation
    2. Nonlinear Schrödinger equation
    3. Sine-Gordon equation
    4. An integrable system in General Relativity
    5. Integrability aspects of a modified chiral model
    6. Vortex dynamics
    7. Further examples
  7. Gauge theory, zero curvature, self-dual Yang-Mills and beyond
    1. Interlude: gauge theory
    2. Zero curvature condition
    3. Potential forms of the self-dual Yang-Mills equation
    4. Bidifferential calculus

Additional exercise sessions:
Saturday, 6 February, Seminarraum 3, Theoretische Physik, 14-17:30
Friday, 12 February, Seminarraum 3, Theoretische Physik, 14-18

Klausur: Dienstag, 16. Februar 2010, 10-13 Uhr
Ort: HS 5 (Gauß-Weber Hörsaal, E0.109)

Last change: 13 February 2010