Dozent: Müller-Hoissen
Vorlesung: Nichtlineare Feldgleichungen: Solitonen und verwandte Strukturen
(Nonlinear field equations: solitons and the like)
Zeit: WS2008/2009, Di 8-10, Fr 8-10
Ort: HS 3 (Di: James Franck Hörsaal, A0.105, Fr: Seminarraum 3, Theor. Physik)
Zielgruppe: Studenten Physik/Mathematik, ab 5. Semester
Zusammenfassung:
Differentialgleichungen zur Beschreibung dynamischer (insbesondere physikalischer) Prozesse sind typisch nicht-linear. Infolgedessen zeigen ihre Lösungen oftmals ein recht komplexes Verhalten. Eine spezielle Klasse
nichtlinearer Differentialgleichungen sind die sogenannten "vollständig integrablen", deren Lösungen in exakter (und nicht nur approximativer oder numerischer) Weise zugänglich sind. Einige solcher (partieller) Differentialgleichungen besitzen Lösungen, die man als Solitonen bezeichnet.
Im Falle etwa der Korteweg-deVries (KdV) Gleichung (eine Approximation insbesondere von Wasserwellen) ist ein Soliton ein lokalisierter Wellenberg. Derartige Wellenberge können durcheinander durch fließen und anschließend wieder ihre ursprüngliche Form annehmen. In der Tat besitzt die KdV-Gleichung exakte Lösungen, die solche Prozesse für beliebig viele solitäre Wellen beschreiben. Weitere berühmte Beispiele aus der Physik sind die nichtlineare Schrödingergleichung (mit Anwendungen in der optischen Signalübertragung in Glasfasern) und die Sinus-Gordon-Gleichung (eine nichtlineare Version der linearen Klein-Gordon-Gleichung in einer 2-dimensionalen Raum-Zeit mit Ursprung in der Differentialgeometrie und zahlreichen physikalischen Anwendungen). Bei manchen Gleichungen ist eine Analogie nur auf einer mehr mathematischen Ebene zu sehen. So findet man etwa dass in der Allgemeinen Relativitätstheorie schwarze Löcher in gewissem Sinne Solitonen entsprechen.
Die nähere Beschäftigung mit derartigen Phänomenen macht Kontakt
mit zahlreichen in der Physik wichtigen mathematischen Strukturen. Eine Methode
zur Lösung "integrabler Gleichungen" ist die Inverse Streutheorie, welche
Methoden der Quantenmechanik nutzt. Andere Zugänge involvieren
verallgemeinerte Symmetrien und wichtige algebraische oder geometrische Strukturen.
In der Vorlesung soll versucht werden, bedeutende Zusammenhänge heraus zu arbeiten und an physikalisch motivierten Beispielen zu erläutern.
Vorausgesetzt werden Differentialrechnung, lineare Algebra, ein wenig komplexe Analysis, desweiteren Grundkenntnisse (variierend mit den in der Vorlesung behandelten Themen) aus der klassischen Mechanik, Elektrodynamik, speziellen Relativitätstheorie und Quantenmechanik. Die Ausrichtung der Vorlesung geht leicht in Richtung "mathematische Physik".
Prüfung:
Die Teilnahme an der Vorlesung bringt 6 Credit Points.
Klausurtermin:
Dienstag, 16. Februar 2010, 10-13 Uhr
Nachklausur: Dienstag, 30. März 2010, 10-13 Uhr
Ort: HS 5 (Gauß-Weber Hörsaal, E0.109)
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Literature:
This course is not based on some book, although it covers material that
can be found in various books. Some physically (in contrast to
mathematically) dominated books are