Dozent: Müller-Hoissen
Vorlesung: Allgemeine Relativitätstheorie (General Relativity)
Zeit: WS2008/2009, Mi 8-10, Fr 8-10
Ort: HS 3 (James Franck Hörsaal)
Zielgruppe: Studenten Physik/Mathematik, ab 5. Semester

Zusammenfassung:

Geometrische Konzepte liegen vielen physikalischen Theorien und Modellen zugrunde und bilden vielfach den Schlüssel zu einer eleganten Formulierung. Besonders erfolgreich ist die geometrische Beschreibung von Gravitationskräften im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie, der umfassensten klassischen physikalischen Theorie.

Diese Vorlesung ist eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie, nebst der zu Grunde liegenden Mathematik (welche übrigens auch in anderen Bereichen der theoretischen Physik von Bedeutung ist).

Insbesondere wird auf die Euklidische Geometrie als Grundlage der klassischen Mechanik und deren relativistischer Version eingegangen. Die geometrische (kovariante) Formulierung der Newtonschen Gravitationstheorie bietet dann einen leichten Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie. Auch deren höherdimensionale Verallgemeinerung (Kaluza-Klein-Theorie) wird kurz behandelt.

Als eine Verallgemeinerung des geometrischen Rahmens ist die »Eichtheorie« anzusehen. Neben der Gravitationstheorie und Elektrodynamik fallen hierunter die heutigen Modelle der Elementarteilchenphysik und vieles mehr. Voraussichtlich wird dieses Thema aber aus Zeitgründen wegfallen oder nur sehr kurz behandelt.

Vorausgesetzt werden Differentialrechnung und lineare Algebra, Kenntnisse der klassischen Mechanik und Elektrodynamik, sowie Grundkenntnisse der speziellen Relativitätstheorie.

Inhaltsverzeichnis:

  1. Einleitung
  2. Teilchen auf Zwangsflächen und Geodäten
    1. "Freies" Teilchen in der Mechanik
    2. Tensorfelder
    3. Wirkungsfunktional und Bogenlänge
      Übung 1
    4. Christoffel-Symbole und Geodäten
    5. Bemerkungen zu Geometrie und Physik
    6. Addendum: Algebraische Tensoroperationen
      Übung 2
  3. Konnexion, kovariante Ableitung und Krümmung
    1. Transformationsgesetz der Christoffel-Symbole
    2. Kovariante Ableitung
    3. Krümmung
      Übung 3
    4. Paralleltransport
    5. Gleichung der geodätischen Deviation (Jacobi-Gleichung)
    6. Jacobi-Metrik
    7. Ergänzungen zur Differentialgeometrie
      Übung 4
  4. Newton-Cartan-Theorie
    1. Heuristischer Zugang
    2. Formulierung einer koordinateninvarianten Gravitationstheorie
  5. Spezielle Relativitätstheorie
    1. Grundlagen der SRT
      Übung 5
    2. Rotierendes Bezugssystem
    3. Äquivalenzprinzip
      Übung 6
    4. Kritik der SRT
  6. Allgemeine Relativitätstheorie
    1. Formulierung der Theorie
    2. Newtonscher Grenzfall
    3. Kugelsymmetrisches Gravitationsfeld
      Krümmung einer kugelsymmetrischen Metrik
      1. Kugelsymmetrische Lösung der Vakuum-Feldgleichungen (Schwarzschild-Metrik)
        Übung 7
      2. Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik
      3. Zeitartige Geodäten der Schwarzschild-Metrik
        Übung 8
      4. Periheldrehung
        Rechnungen zur Periheldrehung
      5. Nullgeodäten der Schwarzschild-Metrik und Lichtablenkung
      6. Innere Schwarzschild-Lösung und Existenzbedingung für Sterne
        Rechnungen zur inneren Schwarzschild-Lösung
        Übung 9
    4. Mehr über die Einsteinschen Gleichungen
      1. Lovelock-Theorem und kosmologische Konstante
      2. Einstein-Hilbert-Wirkung
  7. Kosmologie
    1. Kosmologisches Prinzip und Friedman-Gleichungen
      Übung 10
      Ergänzung zu maximal-symmetrischen Räumen in der Kosmologie
    2. Kosmologische Modelle mit Λ=0 und Staubmaterie
    3. Eine Parametrisierung der Friedman-Modelle und das derzeitige physikalische Bild des Kosmos
      Übung 11
    4. Urknall, kosmische Hintergrundstrahlung und Nukleosynthese
    5. Rotverschiebung in einem (beliebigen) Gravitationsfeld und Hubble-Gesetz
    6. Teilchenhorizontproblem und weitere Bemerkungen
      Skalarfeld in der Kosmologie
  8. Mehr zur ART
    1. Fortsetzungen der Schwarzschild-Metrik
    2. Linearisierte Einstein-Gleichungen und Gravitationswellen
      Übung 12
  9. Über die ART hinaus

Lösungen von Übungsaufgaben

Literaturhinweise:
Die Vorlesung richtet sich nicht nach einem Buch, behandelt aber natürlich überwiegend Material, das in vielen Büchern zu finden ist. Allerdings gibt es starke Unterschiede in Notation und Konventionen, was den Vergleich besonders für Anfänger oft sehr erschwert. Es ist daher besser, sich erstmal auf die Vorlesung selber zu konzentrieren. Literaturhinweise zur Vertiefung bestimmter Themen werden in der Vorlesung angegeben.
Eine (unvollständige) Literaturliste zur ART ist
Literatur zur Allgemeinen Relativitätstheorie (Markus Pössel)
Absolut zu empfehlen als Einführung in die Physik der ART ohne den eigentlich notwendigen mathematischen Formalismus ist, trotz des Alters, das Büchlein Weiße Zwerge, Schwarze Löcher von Roman und Hannelore Sexl (Rowohlt, 1975). Mehr auf niedrigem mathematischen Niveau findet man in Schutz, Gravity from the Ground Up. Gut lesbare Standardlehrbücher sind z.B. Rindler, Relativity, Stephani, Allgemeine Relativitätstheorie, Weinberg, Gravitation and Cosmology, oder Goenner, Einführung in die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie.
Wer tiefer in die moderne Differentialgeometrie eintauchen möchte, könnte in Kobayashi und Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Band 1, eine gute Lektüre finden. Das betrifft hauptsächlich Abschnitt 3.7 der Vorlesung, der für die weitere Vorlesung aber nicht wichtig ist. Zur Theorie gekrümmter Flächen im Euklidischen R3 ist etwa DoCarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces zu empfehlen.
Hinsichtlich Kosmologie ist eine Einführung auf einfachem Niveau zu finden in Liddle, An Introduction to Modern Cosmology (2003). Es gibt auch eine deutsche Version dieses Buches (2008). Als tiefere Lektüre ist das neue Buch von Weinberg, Cosmology, (2008) zu empfehlen. Ein guter deutscher Übersichtsartikel ist der folgende von Priester und van de Bruck: 75 Jahre Theorie des expandierenden Kosmos: Friedmann Modelle und der "Einstein-Limit".

Als generell weiterführende und in manchen Aspekten angenehm unorthodoxe Lektüre empfehle ich auch The Road to Reality von Penrose.

Evaluationsergebnis für diese Vorlesung.

Übungsklausur:
Zeit: Donnerstag, 5. März, 10 - 12 Uhr,
Ort: Seminarraum SR 3, Theoretische Physik.

Prüfung:
Die Teilnahme an der Vorlesung bringt 6 Credit Points.
Klausurtermin: Donnerstag, 9. April 2009, 10-12 Uhr
Ort: SR1, A1.101 (Fakultät Physik)
Bitte rechtzeitige Anmeldung bei FlexNow nicht vergessen!
Wer außerhalb von FlexNow an der Klausur teilnimmt und eine Bescheinigung braucht, vermerke dies bitte auf auf den Klausurunterlagen.


Letzte Änderung: 3. April 2009