Dozent: Müller-Hoissen
Vorlesung: Geometrie und Physik
Zeit: WS2005/2006, Fr 13:30 - 15
Ort: HS 3 (James Franck Hörsaal)
Zielgruppe: Studenten Mathematik/Physik ab 5. Semester

Zusammenfassung:

Geometrische Konzepte liegen vielen physikalischen Theorien und Modellen zugrunde und bilden vielfach den Schlüssel zu einer eleganten Formulierung. Die Vorlesung ist gedacht als ein Streifzug durch wichtige Bereiche der theoretischen Physik mit geometrischem Leitfaden (hauptsächlich Riemannsche Geometrie und Eichtheorie). Riemannsche Geometrie tritt bereits auf bei dem Problem der Bewegung von Teilchen auf Zwangsflächen im Rahmen der klassischen Mechanik.

Insbesondere wird auf die Euklidische Geometrie als Grundlage der klassischen Mechanik und deren relativistischer Version eingegangen. Die geometrische (kovariante) Formulierung der Newtonschen Gravitationstheorie bietet dann einen leichten Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie und deren höherdimensionalen Verallgemeinerung (Kaluza-Klein).

Als eine wesentliche Verallgemeinerung des geometrischen Rahmens ist die »Eichtheorie« anzusehen. Neben der Gravitationstheorie und Elektrodynamik fallen hierunter die heutigen Modelle der Elementarteilchenphysik und vieles mehr.

Vorausgesetzt werden Kenntnisse der klassischen Mechanik und Elektrodynamik.

Diese Vorlesung kann insbesondere als Vorbereitung auf eine spätere Vorlesung über Allgemeine Relativitätstheorie dienen.

Literatur

Behandelt wurde:
  1. Einleitung
  2. Von Teilchen auf Zwangsflächen zur Differentialgeometrie
    1. Motivierendes Beispiel: freies Teilchen in der Mechanik
    2. Metrik und Tensorfelder
      Übung 1 (pdf)
    3. Wirkungsfunktional und Bogenlänge
    4. Christoffelsymbole und Geodäten
      Übung 2 (pdf), Übung 3 (pdf)
  3. Tensorrechnung, lineare Konnexionen, kovariante Ableitung
    1. Algebraische Tensoroperationen
      Übung 4 (pdf)
    2. Von koordinatenabhängigen Tensorkomponenten zu koordinatenunabhängigen Objekten
    3. Tensorkomponenten bezüglich (Ko-) Basenfeldern
      Übung 5 (pdf)
    4. Mannigfaltigkeiten
    5. Lineare Konnexionen und kovariante Ableitungen
      Übung 6 (pdf)
  4. Mechanik und Jacobi-Metrik
    Übung 7 (pdf)
  5. Differentialformen
  6. Konnexionen und Krümmung
    Übung 8 (pdf)
  7. Mehr über lineare Konnexionen und Krümmung
    Übung 9 (pdf)
    1. Torsion
      Übung 10 (pdf)
    2. Ricci-Identitäten und Symmetrien des Krümmungstensors
  8. Newton-Cartan-Theorie
    1. Heuristischer Zugang
    2. Tensorformulierung einer Galilei-Gravitationstheorie
      Übung 11 (pdf), Übung 12 (pdf)
  9. Bemerkungen zur speziellen Relativitätstheorie
  10. Allgemeine Relativitätstheorie
    Schwarzschild-Metrik (pdf)
  11. Volumenform und Hodge-Operator
  12. Einstein-Hilbert-Wirkung
  13. Eichtheorie
    Übung 13 (pdf)
    Übung 14 (pdf)
  14. Kaluza-Klein-Theorie
    Übung 15 (pdf)
  15. Strings
    Übung 16 (pdf)
Sonderübungsaufgaben:
  1. Einbettung 2-dimensionaler Riemannscher Räme in den 3-dimensionalen Euklidischen Raum (pdf)

Bemerkung zu Dimensionen einiger physikalischer Größen:
Die Gravitationskonstante G hat die Dimension [G] = cm3g-1s-2. Setzt man die Lichtgeschwindigkeit c=1 und auch G=1, dann ist folglich [Masse] = [Länge]. (Im Falle der Schwarzschildmetrik ist der Schwarzschildradius proportional zur Masse.)
In der Quantenphysik haben wir noch die Plancksche Konstante h mit [h] = cm2s-1g. Setzt man c=1 und h=1, dann ist [Masse] = 1/[Länge], also umgekehrt wie oben. (Die Massen von Kaluza-Klein-Moden werden riesig, wenn der zusätzliche (kompakte) Raum winzig wird.)

Einige interessante Links:

In case of the request of foreign students the lectures will be delivered in English.

Letzte Änderung: 03. Februar 2006