Dozent: Müller-Hoissen
Vorlesung: Geometrie und Physik
Zeit: WS2005/2006, Fr 13:30 - 15
Ort: HS 3 (James Franck Hörsaal)
Zielgruppe: Studenten Mathematik/Physik ab 5. Semester
Zusammenfassung:
Geometrische Konzepte liegen vielen physikalischen Theorien und Modellen
zugrunde und bilden vielfach den Schlüssel zu einer eleganten Formulierung.
Die Vorlesung ist gedacht als ein Streifzug durch wichtige Bereiche der
theoretischen Physik mit geometrischem Leitfaden (hauptsächlich
Riemannsche Geometrie und Eichtheorie). Riemannsche Geometrie tritt
bereits auf bei dem Problem der Bewegung von Teilchen auf
Zwangsflächen im Rahmen der klassischen Mechanik.
Insbesondere wird auf die
Euklidische Geometrie als Grundlage der klassischen Mechanik und deren
relativistischer Version eingegangen. Die geometrische (kovariante)
Formulierung der Newtonschen Gravitationstheorie bietet dann einen
leichten Übergang zur Allgemeinen Relativitätstheorie und
deren höherdimensionalen Verallgemeinerung (Kaluza-Klein).
Als eine wesentliche Verallgemeinerung des geometrischen
Rahmens ist die »Eichtheorie« anzusehen. Neben der Gravitationstheorie und
Elektrodynamik fallen hierunter die heutigen Modelle der
Elementarteilchenphysik und vieles mehr.
Vorausgesetzt werden
Kenntnisse der klassischen Mechanik und Elektrodynamik.
Diese Vorlesung kann insbesondere als Vorbereitung auf eine spätere
Vorlesung über Allgemeine Relativitätstheorie
dienen.
Literatur
Behandelt wurde:
- Einleitung
- Von Teilchen auf Zwangsflächen zur Differentialgeometrie
- Motivierendes Beispiel: freies Teilchen in der Mechanik
- Metrik und Tensorfelder
Übung 1 (pdf)
- Wirkungsfunktional und Bogenlänge
- Christoffelsymbole und Geodäten
Übung 2 (pdf),
Übung 3 (pdf)
- Tensorrechnung, lineare Konnexionen, kovariante Ableitung
- Algebraische Tensoroperationen
Übung 4 (pdf)
- Von koordinatenabhängigen Tensorkomponenten zu
koordinatenunabhängigen Objekten
- Tensorkomponenten bezüglich (Ko-) Basenfeldern
Übung 5 (pdf)
- Mannigfaltigkeiten
- Lineare Konnexionen und kovariante Ableitungen
Übung 6 (pdf)
- Mechanik und Jacobi-Metrik
Übung 7 (pdf)
- Differentialformen
- Konnexionen und Krümmung
Übung 8 (pdf)
- Mehr über lineare Konnexionen und Krümmung
Übung 9 (pdf)
- Torsion
Übung 10 (pdf)
- Ricci-Identitäten und Symmetrien des Krümmungstensors
- Newton-Cartan-Theorie
- Heuristischer Zugang
- Tensorformulierung einer Galilei-Gravitationstheorie
Übung 11
(pdf), Übung 12
(pdf)
- Bemerkungen zur speziellen Relativitätstheorie
- Allgemeine Relativitätstheorie
Schwarzschild-Metrik
(pdf)
- Volumenform und Hodge-Operator
- Einstein-Hilbert-Wirkung
- Eichtheorie
Übung 13
(pdf)
Übung 14
(pdf)
- Kaluza-Klein-Theorie
Übung 15
(pdf)
- Strings
Übung 16
(pdf)
Sonderübungsaufgaben:
-
Einbettung 2-dimensionaler Riemannscher Räme in den 3-dimensionalen
Euklidischen Raum (pdf)
Bemerkung zu Dimensionen einiger physikalischer Größen:
Die Gravitationskonstante G hat die Dimension
[G] = cm3g-1s-2. Setzt man
die Lichtgeschwindigkeit c=1 und auch G=1, dann
ist folglich [Masse] = [Länge]. (Im Falle der Schwarzschildmetrik
ist der Schwarzschildradius proportional zur Masse.)
In der Quantenphysik haben wir noch die Plancksche Konstante
h mit [h] = cm2s-1g. Setzt man
c=1 und h=1, dann ist [Masse] = 1/[Länge], also
umgekehrt wie oben.
(Die Massen von Kaluza-Klein-Moden werden riesig, wenn der zusätzliche
(kompakte) Raum winzig wird.)
Einige interessante Links:
In case of the request of foreign students the lectures will be delivered in English.
Letzte Änderung: 03. Februar 2006