In dieser Vorlesung geht es hauptsächlich um mathematische Techniken, die insbesondere Anwendung finden auf Solitonen-Gleichungen. Das sind nichtlineare Wellengleichungen, die typisch lokalisierte Lösungen (sogenannte Solitonen) besitzen, welche einer Art nichtlinearem Superpositionsprinzip genügen und das Zusammentreffen mit Ihresgleichen nahezu unverändert überstehen. Das bekannteste Beispiel ist wohl die Korteweg-deVries-Gleichung, die ursprünglich solitäre Wasserwellen beschrieb, später aber in vielen physikalischen Systemen und mathematischen Strukturen wieder gefunden wurde. Ein weiteres bekanntes Beispiel ist die nichtlineare Schrödinger-Gleichung, die bei dem Problem verlustarmer Datenübertragung in Glasfasern über grosse Entfernungen von Bedeutung ist. Weitere Beispiele von Solitonen-Gleichungen findet man in vielen Bereichen der Physik und Mathematik. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind etwa stationäre axialsymmetrische schwarze Löcher Lösungen einer verwandten Gleichung.
Manche Solitonen-Gleichungen lassen sich als unendlich-dimensionale Analoga von integrablen Systemen der Hamiltonschen Mechanik verstehen. Insbesondere findet man, dass solche Gleichungen unendlich viele Erhaltungssätze haben und Mitglieder einer Hierarchie sind, d.h. einer Familie von unendlich vielen (partiellen Differential-) Gleichungen, die miteinander "kompatibel" sind.
Insbesondere sollen, an Hand von Beispielen, folgende Aspekte behandelt werden: Lax-Formalismus, inverse Streutheorie, Bäcklund-Transformationen, Bi-Hamiltonsche Systeme, Hirotas bilinearer Formalismus und τ-Funktion, r-Matrix und Yang-Baxter-Gleichung.
Vorausgesetzt werden Mathematikkenntnisse im Rahmen der linearen Algebra und Differential- und Integralrechnung, sowie Grundkenntnisse über Differentialgleichungen.
Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben.
In case of the request of foreign students the lectures will be delivered in English.